Главная » 2008 » Октябрь » 27 » Легендарная задача и битва за приоритет. Часть 2 [Андрей Матусевич, 20.01.2008]
Легендарная задача и битва за приоритет. Часть 2 [Андрей Матусевич, 20.01.2008] | 09:51 |
(Продолжение. Начало публикации в №6 (25) за декабрь 2007 г.) С того момента, как гипотеза Пуанкаре была сформулирована более ста лет назад, сообщения о ее доказательстве появлялись почти ежегодно. Анри Пуанкаре, двоюродный брат Раймона Пуанкаре, президента Франции во время Первой мировой войны, был одним из талантливейших математиков девятнадцатого века. Худой, близорукий, известный своей невероятной рассеянностью человек, Пуанкаре сформулировал знаменитую задачу за восемь лет до своей смерти, в 1904 году. Формулировка проблемы, в качестве побочного вопроса, была засунута в конец шестидесятипятистраничной статьи.Пуанкаре не смог добиться сколько-нибудь заметного прогресса в решении этой проблемы. «Cette question nous entraînerait trop loin» («Этот вопрос уводит нас далеко в сторону»), – писал он. Пуанкаре был основателем топологии – науки, также называемой «геометрией резинового листа» из-за ее ориентации на исследование внутренних свойств различных пространств. С точки зрения тополога, не существует разницы между бубликом и кофейной кружкой с ручкой. Оба эти объекта имеют дырку и могут быть трансформированы друг в друга без нарушения целостности. Для описания этого абстрактного топологического пространства, Пуанкаре использовал слово «многообразие». Простейшее двумерное многообразие – поверхность футбольного мяча которая для тополога, является сферой – даже если ее растянуть или скомкать. Доказательством того, что объект представляет собой двумерное многообразие (так называемую «two-sphere»), является то, что объект – односвязный, то есть в нем нет дыр. В отличие от футбольного мяча, бублик не является сферой. Если вы накинете лассо на футбольный мяч и начнете его затягивать, в результате вам удастся стянуть узел лассо в точку, при этом лассо будет все время находиться на поверхности мяча. Если вы завяжете лассо вокруг дужки бублика, стянуть его в точку, не разрушая целостности бублика, вам не удастся.  Свойства двумерных многообразий были хорошо известны уже в середине девятнадцатого века. Однако оставалось неясным, справедливо ли для трех измерений то, что истинно в случае двух измерений. Пуанкаре предположил, что все замкнутые односвязные трехмерные многообразия (финитные многообразия без дырок) – являются сферами. Эта гипотеза имела особенно важное значение для ученых, исследующих самое большое трехмерное многообразие – нашу Вселенную. Математическое доказательство этой гипотезы было, тем не менее, совсем не легким. Большинство попыток вело исследователей в тупик, но некоторые послужили источником важных математических открытий, таких как лемма Дена, теорема сферы и теорема о петле, ставших базовыми теоремами современной топологии.К шестидесятым годам двадцатого века топология стала одной из наиболее продуктивных отраслей математики и молодые топологи то и дело бросали вызов гипотезе Пуанкаре. К немалому изумлению большинства ученых выяснилось, что многообразия четырех, пяти и более измерений гораздо легче поддаются изучению, чем те, что имеют всего три размерности. К 1982 году гипотеза Пуанкаре была доказана для всех случаев, кроме трехмерного. В 2000 г. руководство Математического института Клэя (частная организация, чья деятельность состоит в поддержке математических исследований) назвало решение гипотезы Пуанкаре одной из семи наиболее важных задач современной математики и назначило приз в один миллион долларов тому, кто сможет представить доказательство теоремы. «Вся моя жизнь как математика проходила под знаком задачи Пуанкаре, – сказал Джон Морган, глава математического факультета Колумбийского университета. – Я и подумать не мог, что мне доведется увидеть ее решение. Мне казалось, что это не под силу никому»... Григорий Перельман не планировал становиться математиком. «Все происходило постепенно», – сказал он при нашей встрече, когда мы прогуливались рядом с его домом – Григорий живет в Купчино, районе унылых многоэтажек. Отец Григория, инженер-электрик, поощрял занятия сына математикой. «Он постоянно подкидывал мне логические и математические задачки, – рассказывал Перельман. – У него было много книг, которые он давал мне читать. Он научил меня играть в шахматы. Он мной гордился». Среди книг, которые Перельман-отец давал своему сыну, была и крайне популярная в тридцатых годах в России книга однофамильца Григория Якова Перельмана «Занимательная физика». В предисловии к книге автор описывал ее как собрание «загадок, головоломок, занимательных историй и неожиданных сравнений», добавляя: «я привожу многочисленные цитаты из романов Жюля Верна, Герберта Уэллса, Марка Твена и других писателей, поскольку, кроме чистого развлечения, приключения, описанные в их книгах, могут послужить превосходными иллюстрациями к урокам физики». В книге рассматривались такие темы, как правила выпрыгивания из движущейся машины, а также почему «согласно законам плавучести, невозможно утонуть в Мертвом Море». К удивлению Григория, его хобби оказалось востребованным в обществе. В возрасте четырнадцати лет он был признанным авторитетом в местном математическом кружке. В 1982 г. (в том самом году, когда Шин-Тун Яу получил свою Филдсовскую медаль) Перельман получил высшую оценку и золотую медаль на международной математической олимпиаде в Будапеште. Он поддерживал дружеские, но не близкие отношения с ребятами из своей команды: «У меня не было близких друзей», – говорил Григорий. Он был одним из двух или трех евреев в параллели и, кроме того, очень любил оперу, что не могло не сказаться на его популярности в школе. Его мать, преподаватель математики в техническом колледже, увлекалась игрой на скрипке и начала брать его с собой в оперу, когда ему было всего шесть лет. К пятнадцати годам Перельман тратил все свои карманные деньги на аудио-записи. Он был безумно счастлив, когда ему удалось приобрести запись знаменитого исполнения «Травиаты» 1946 года, где партию Виолетты исполняла Личия Альбанезе. «У нее был очень хороший голос», – вспоминал Перельман. В 1982 году, в возрасте шестнадцати лет, Перельман поступил в Ленинградский университет, где начал заниматься геометрией. В то время он решил задачу, поставленную математиком института им. Стеклова Юрием Бураго, будущим научным руководителем Григория. «Существует масса одаренных студентов, которые говорят раньше, чем думают, – рассказывал Бураго. – Гриша был не таким. Он всегда очень тщательно и глубоко обдумывал то, что намеревался сказать». Бураго добавлял: «Он не был очень быстрым в своих решениях. Скорость решения не значит ничего, математика не построена на скорости. Математика зависит от глубины». В начале девяностых годов Перельман устроился на работу в институт Стеклова и стал настоящим экспертом в области римановых пространств и пространств Александрова – математических расширений обычной евклидовой геометрии. Он начал публиковать свои статьи в ведущих научных журналах России и Америки. В 1992 году Перельмана пригласили провести по семестру в Нью-Йоркском университете и университете Стоуни Брук. Осенью того года российская экономика переживала жестокий кризис. Дэн Струк, математик из Массачусетского технологического института (МТИ) вспоминает, как ему приходилось ввозить в Россию толстые пачки долларов, чтобы передать их одному отставному математику из «Стекловки», который, как и многие его коллеги, пребывал в жестокой нужде. Перельману нравилось в Соединенных Штатах, центре международного математического сообщества. Он все время ходил в одном и том же вельветовом пиджаке и рассказывал друзьям в Нью-Йоркском университете, что питается только хлебом, сыром и молоком. Он любил гулять в Бруклине, где у него жили родственники, и покупать там настоящий черный хлеб. Некоторых коллег Григория поражали его необычайно длинные ногти. «Растут себе – и ладно», – отвечал он тем, кто спрашивал его, почему он их не острижет. Раз в неделю Перельман и молодой китайский ученый Ганг Тян отправлялись в Принстон, чтобы принять участие в семинаре, проходившем в Институте Специальных Исследований (ИСИ).  На протяжении нескольких десятилетий этот институт и находящийся неподалеку Принстон были центрами топологической науки. В конце семидесятых принстонский математик Уильям Терстон, любивший иллюстрировать свои идеи с помощью ножниц и бумаги, предложил систематезировать все трехмерные многообразия. Он утверждал, что, несмотря на то, что многообразия могут принимать любую форму, в действительности они тяготеют к некоторой «предпочтительной» геометрии (подобно тому, как кусок шелка, обернутый вокруг манекена, стремится принять его форму).Терстон предположил, что любое трехмерное многообразие может быть разложено на один или несколько компонентов, каждый из которых можно отнести к одному из восьми типов, включая сферический. Теория Терстона, получившая название гипотезы геометризации, описывает все возможные трехмерные многообразия и, таким образом, является очень важным обобщением гипотезы Пуанкаре. Доказательство гипотезы Терстона влекло за собой доказательство проблемы Пуанкаре. Доказательство теорий Терстона и Пуанкаре «открывало огромные перспективы», как признал Барри Мазур, математик из Гарвардского университета. «Последствия этих доказательств для других областей науки могут быть неочевидны еще долгое время, но, без сомнения, для математиков эти задачи имели фундаментальное значение. Эти задачи – что-то вроде теоремы Пифагора двадцатого века, – добавил Мазур. – Они оказывают огромное влияние на математику». В 1982 году Терстон получил Филдсовскую медаль за свой вклад в топологию. В этом же году математик из Корнелльского университета Ричард Гамильтон опубликовал статью, посвященную уравнению, названному потоками Риччи. Это уравнение, по мнению Гамильтона, могло помочь в решении задачи Терстона (а следовательно и задачи Пуанкаре). Подобно тепловому уравнению, которое описывает процесс распределения тепла в веществе от более теплых к более холодным участкам, потоки Риччи, сглаживая аномалии, дают многообразиям более унифицированную геометрию. Гамильтон, сын врача из Цинциннати, опровергал сложившийся стереотип математика как засушенного «ботаника». Дерзкий и непочтительный человек, он ездил верхом, занимался виндсерфингом и менял подружек как перчатки. В его жизни математика занимала место еще одного хобби. К сорока девяти годам у него сложилась репутация превосходного лектора, но количество его опубликованных работ было относительно невелико, если не считать базовых статей о потоках Риччи; кроме того, у него практически не было учеников. Перельман прочел статьи Гамильтона, после чего отправился послушать его лекцию в ИСИ. После лекции Перельман поборол свою застенчивость и поговорил с Гамильтоном. «Мне было очень важно расспросить его кое о чем, – вспоминал Перельман. – Он улыбался и был очень со мной терпелив. Он даже рассказал мне пару вещей, которые были им опубликованы только несколько лет спустя. Он не задумываясь делился со мной. Мне очень понравились его открытость и щедрость. Могу сказать, что в этом Гамильтон был не похож на большинство других математиков». «Я работал над разными темами, хотя время от времени я мысленно возвращался к потокам Риччи, – добавил Перельман. – Не нужно быть великим математиком, чтобы увидеть, что потоки Риччи могут оказаться полезными в решении проблемы геометризации. Я чувствовал, что мне не хватает знаний. И я продолжал задавать вопросы». Яу тоже спрашивал Гамильтона о потоках Риччи. Яу и Гамильтон познакомились в семидесятых годах и вскоре стали близкими друзьями, несмотря на разницу в темпераменте и воспитании. Один математик из университета Калифорнии в Сан-Диего говорил, что они «математически влюблены в жизни друг друга». Семья Яу, как и сотни тысяч других семей, бежала в Гонконг из коммунистического Китая в 1949 году, когда будущему математику было всего пять месяцев. Незадолго до этого глава семьи, работавший на ООН, потерял большинство своих сбережений, вложенных в различные предприятия. В Гонконге, чтобы прокормить жену и восьмерых детей, ему пришлось преподавать в колледже классическую китайскую литературу и философию. Когда Яу исполнилось четырнадцать, его отец умер от рака почек. Мать Яу была вынуждена довольствоваться скудной помощью, поступавшей из местных христианских миссий и небольшими суммами, вырученными за скромные рукоделья. До этого момента Яу не был прилежным учеником, но смерть отца все изменила. Яу стал уделять учебе гораздо больше внимания, он также начал заниматься репетиторством. «Частью того, что им движет, является то, что Яу рассматривает свою жизнь как месть собственном отцу, – объяснил нам Дэн Струк, математик из МТИ. – Отец Яу был похож на классического талмудиста, чьи дети вынуждены жить впроголодь». Яу изучал математику в Китайском университете в Гонконге, где ему удалось привлечь внимание Шин-Шен Чженя, выдающегося китайского математика, который помог Яу получить стипендию для обучения в Беркли. Авторству Чженя принадлежит знаменитая теорема, объединяющая геометрию и топологию. Профессиональная деятельность Чженя большой частью проходила в Соединенных Штатах, в Беркли. Он часто летал в Гонконг, на Тайвань, а позже – и в коммунистический Китай, где его почитали за символ достижений китайской научной мысли. В 1969 году Яу поступил в Беркли, взяв в каждом семестре семь продвинутых математических курсов и посещая несколько факультативов. Он отсылал половину стипендии своей матери в Китай; преподаватели Яу были поражены его упорством и целеустремленностью. Яу был вынужден разделить лавры своего первого научного достижения с двумя другими математиками, которые, как выяснилось, работали над той же проблемой. В 1976 году Яу доказал гипотезу двадцатилетней давности, которая относится к многообразиям, играющим важную роль в теории струн. Филлип Гриффитс, геометр и бывший директор ИСИ вспоминает: «Яу не был гениальным инноватором с блестящими новыми идеями, скорее – превосходным «технарем», решающим поразительно сложные задачи (непосильные в то время никому, кроме него) за счет гигантского упорства и интеллекта». В 1980 году, в возрасте 30 лет, Яу стал одним из самых юных математиков из когда-либо зачисленных в постоянный штат Института Специальных Исследований; он начал собирать вокруг себя одаренных студентов. Спустя два года Яу получил Филдсовскую медаль – он был первым китайским ученым, удостоенный такой чести. К этому моменту Чженю было уже семьдесят лет и он готовился выйти в отставку. По словам одного из родственников Чженя «Яу решил, что он будет следующим великим китайским математиком, и что Чженю пора уступить ему место». В 1987 году, после долгих уговоров руководства, Яу, наконец, принял предложение перейти на работу в Гарвард.  Предприимчивость Яу привела к установлению сотрудничества со многими коллегами; вдобавок к самостоятельным исследованиям, Яу начал организовывать собственные семинары. Он часто сотрудничал с блестящими математиками-инноваторами, однако особенно сильно Яу был впечатлен Гамильтоном, Яу был уверен, что Гамильтон может использовать потоки Риччи для доказательства теорем Пуанкаре и Терстона; он постоянно поощрял Гамильтона заниматься этой проблемой. «Встреча с Яу полностю изменила его математическию жизнь, – рассказывал нам их общий друг. – Впервые в жизни Гамильтон шел по следу действительно важной задачи. Общение с Яу вселяло в него решимость и давало ему ясную цель».Яу верил, что если бы ему удалось помочь доказать гипотезу Пуанкаре, то это было бы не только его личной победой, но и победой всего Китая. В середине девяностых Яу с несколькими другими китайскими учеными начал встречаться с председателем Китая Цзянь Цземинем. Целью их встреч было получение поддержки от правительства в деле восстановления научных учреждений страны, в большинстве своем разрушенных в ходе культурной революции. Китайские университеты пребывали в плачевном состоянии. Стив Смейл, получивший Филдсовскую медаль за доказательство гипотезы Пуанкаре в более высоких измерениях, после своего выхода на пенсию из Беркли преподавал в Пекинском университете Гонконга. Он рассказывал, что «университетские коридоры воняли мочой, доценты имели одну на всех комнату отдыха и один офис», и что зарплаты преподавательского состава были отчаянно малы. Яу сумел убедить одного гонгконгского торговца недвижимостью помочь профинансировать математический институт при Китайской Академии Наук в Пекине, а также учредить медаль по образцу Филдсовской, предназначенную для китайских математиков в возрасте до 45 лет. Во время свох визитов в Китай Яу усиленно рекламировал Гамильтона и их совместную работу над потоками Риччи и гипотезой Пуанкаре как образец для подражания для молодых китайских ученых. Как сам Яу сказал нам на конференции в Пекине: «Говорят, что наш народ, все до единого, должны брать пример с Мао или других великих героев. Я по этому поводу сказал, будучи наполовину серьезным: вся страна должна учиться у Гамильтона». Григорий Перельман к тому времени учился у Гамильтона полным ходом. В 1993 году он получил право на двухгодичную стажировку в Беркли. Как раз в это время в Беркли с лекциями приезжал Гамильтон. Во время одной из лекций Гамильтон упомянул гипотезу Пуанкаре и сказал, что продолжает ей заниматься. Гамильтоновская методика потоков Риччи была в высшей степени специализированной и трудной в применении. После одной из своих лекций в Беркли Гамильтон рассказал Перельману об основном препятствии, с которым ему пришлось столкнуться. В процессе сглаживания пространства потоком Риччи, некоторые области этого пространства вырождаются в так называемые сингулярности. Некоторые из этих областей превращаются в «перешейки» – истонченные участки бесконечной плотности. Более сложный тип сингулярностей был назван «сигарным». Гамильтон опасался, что в случае формирования «сигар» геометризация становится невозможной. Перельман понял, что написанная им статья, посвященная пространствам Александрова, может помочь Гамильтону доказать гипотезу Терстона (а следовательно – гипотезу Пуанкаре). «В какой-то момент я спросил Гамильтона, знаком ли он с определенным доказательством сходимости, которое я вывел, но еще не успел опубликовать, и которое оказалось весьма полезным, – рассказывал Перельман. – Позднее я понял, что в тот момент Гамильтон не понял, о чем я говорю». Дэн Струк сказал: «Перельман, может быть, и почерпнул много полезного у Яу и Гамильтона, однако, нельзя сказать, что они сумели научиться чему-либо у Григория». К концу первого года своего пребывания в Беркли Перельман написал несколько потрясающе оригинальных статей. В 1994 году его пригласили прочитать лекцию на конгрессе ММС в Цюрихе, он получил предложения о работе из Стенфорда, Принстона, ИСИ и Тель-Авивского университета. Как и Яу, Перельман обладал огромными способностями в решении задач. Вместо того, чтобы годами конструировать сложную теоретическую базу или определять новые области для исследования Перельман предпочитал концентрироваться на получении конкретных результатов. По словам Михаила Громова, известного русского геометра, одно время работавшего с Перельманом, Григорий пытался преодолеть технические сложности, вставшие у него на пути при решении определенной задачи в пространствах Александрова. Казалось, что Григорий зашел в тупик. «Он просто не мог сдвинуться с мертвой точки, – говорил Громов. – Это было совершенно безнадежно». Перельман рассказывал, что предпочитает работать над несколькими проблемами одновременно. Однако, будучи в Беркли, он снова и снова возвращался к гамильтоновским потокам Риччи и задаче, которую Гамильтон с их помощью пытался решить. Друзья Перельмана замечали, что он становился все более и более аскетичным в быту. Знакомые из Петербурга, останавливавшиеся у него в Беркли, были поражены тем, насколько скудно была меблирована его квартира. Некоторых беспокоило, что Перельман, похоже, хотел свести свою жизнь к набору жестких аксиом. Когда Григория попросили выслать резюме для приема на работу в Гарвард, он вспылил: «Если они знакомы с моей работой, то им не нужно мое резюме. Если им нужно мое резюме, значит они ничего не знают о моей работе».  В конце концов Григорий получил несколько предложений о работе. Однако он не принял ни одного из них и летом 1995 года вернулся в Санкт-Петербург, на свое старое место в институте Стеклова, где ему платили меньше ста долларов в месяц (он рассказывал одному из своих друзей, что сэкономленных в Америке денег ему хватит до конца жизни). Его отец эмигрировал в Израиль за два года до этого, младшая сестра Григория планировала присоединиться к отцу по окончании института. Мать Григория, однако, собиралась остаться в Санкт-Петербурге, и Перельман переехал к ней. «Я понял, что в России мне лучше работается», – сказал он своим коллегам в Стекловке.К двадцати девяти годам Перельман уже зарекомендовал себя превосходным математиком, однако, он еще не был обременен профессиональными обязательствами. Григорий мог заниматься любыми исследованиями по своему вкусу, кроме того, он мог быть уверен, что если решит опубликовать свою работу, то к ней отнесутся с повышенным вниманием. Математик из Стэнфорда Яков Элиашберг, знакомый с Перельманом еще по Беркли, полагал, что Перельман вернулся в Россию, чтобы продолжить работу над гипотезой Пуанкаре. «Почему бы и нет?», – сказал Перельман, когда мы спросили его о том, была ли догадка Элиашберга верна. Появление Интернета позволило Перельману работать в одиночку, продолжая в то же время пользоваться знаниями других. Перельман работал над статьями Гамильтона в поисках подсказок и провел по ним несколько семинаров. «Ему не нужна была ничья помощь, – рассказывал нам Громов. – Ему нравилось работать самостоятельно. Он напоминает мне Ньютона – своей одержимостью идеей, желанием работать одному, безразличием к мнению других людей. Ньютон был просто несносен. Гриша, конечно, более приятный человек, но – совершенно одержимый». В 1995 году Гамильтон опубликовал статью, в которой обсуждал некоторые идеи по решению задачи Пуанкаре. Прочтя эту статью, Перельман понял, что Гамильтон нисколько не преуспел в преодолении главного препятствия – решении проблемы «перешейков» и «сигар». «С начала 1992 года, он, похоже, не продвинулся ни на йоту, – рассказал нам Перельман. – Возможно, он застрял еще раньше». Тем не менее Перельману казалось, что он знает как обойти этот камень преткновения. В 1996 году он написал Гамильтону длинное письмо, обозначив в нем свою идею – с надеждой на сотрудничество. «Он не ответил,– сказал Григорий.– И я решил работать один». (Продолжение следует) Материал подготовлен на основе статьи Сильвии Насар и Дэвида Грубера «Manifold Destiny. A legendary problem and the battle over who solved it», The New Yorker, 21/08/2006. | |
| Просмотров: 2000 | Добавил: isaeff | Рейтинг: 5.0/1 | | |
| Всего комментариев: 0 | |
