Яу не догадывался, что работа Гамильтона над задачей Пуанкаре застопорилась. Китайского математика в это время все больше беспокоило его собственное положение в науке, особенно у себя на родине, где, как он опасался, место уходящего Чженя мог бы попытаться перехватить более молодой ученый. Несмотря на то, что новые статьи Яу постоянно выходили в свет, с момента публикации его последней значительной работы прошло более десяти лет. «Яу хочет быть королем геометрии, – сказал Майкл Андерсон, геометр из университета Стони Брукс. – Он считает, что все должно исходить от него, что он должен иметь полный контроль. Ему не нравятся вторжения на его собственную территорию». Полный решимости удержать за собой ведущие позиции, Яу поощрял своих учеников браться за большие задачи. В Гарварде под его руководством проходил исключительно сложный семинар по дифференциальной геометрии – три часа в день, три раза в неделю. Каждому студенту было выдано недавно опубликованное доказательство с заданием досконально в нем разобраться, найти возможные нестыковки и заполнить пробелы. Яу был убежден, что математик обязан быть предельно точным; он постоянно говорил своим студентам о важности строгих доказательств на каждом этапе рассуждений.
В математике существует два способа заработать признание вклада в науку. Первый – это предложить новое доказательство. Второй – найти существенный пробел в чужом доказательстве и предложить свой способ заполнения этого пробела. Однако, только истинные математические пробелы (пропущенные или ошибочные доводы) могут рассматриваться как повод для заявки на оригинальность исправленного решения. Заполнение пробелов в изложении доказательства (сокращений или аббревиатур, сделанных чтобы повысить эффективности доказательства) в счет не идет. В 1993 г. Эндрю Уайлс объявил, что в его доказательстве теоремы Ферма была обнаружена существенная ошибка. Эта теорема на некоторое время опять стала законной добычей любого желающего, пока, год спустя, Уайлс сам не нашел новое решение. Большинство математиков согласятся что справедливо и обратное: если эксперт может преобразовать неявные шаги доказательства в явные, то и пробел в доказательстве является не существенным, а простым пробелом в изложении. Само доказательство в этом случае считается правильным и полным.
Порой бывает очень трудно провести границу между математическим пробелом и пробелом в изложении. По крайней мере однажды Яу и его ученики сделали заявку на оригинальное решение, которую другие математики оценивают как необоснованную. В 1996 г. Александр Гивенталь, молодой геометр из Беркли, доказал гипотезу о зеркальной симметрии, являющуюся фундаментальной в теории струн. Несмотря на то, что другие математики нашли теорему весьма трудной для понимания, они были вполне уверены, что Гивенталь смог решить эту задачу. Как выразился один геометр: «В то время никто не говорил, что доказательство является неполным или неверным».
Осенью 1997 г. бывший студент Яу Кифенг Лю, преподававший в Стэнфорде, прочел в Гарварде лекцию о зеркальной симметрии. По свидетельству двух геометров, присутствовавших на конференции, Лю представил доказательство, поразительно похожее на доказательство Гивенталя. Лю сказал, что это решение было опубликовано им в соавторстве с еще одним учеником Яу и самим Яу. «Лю упомянул Гивенталя, но только как одного из тех, кто занимался исследованиями в этой области», – сказал один из геометров (Лю до сих пор утверждает, что его доказательство значительно отличается от представленного Гивенталем).
Примерно в это же время Гивенталь получил письмо, подписанное Яу и его коллегами. В нем говорилось, что авторы письма не смогли разобраться в выкладках Гивенталя, нашли его систему обозначений крайне запутанной и были вынуждены разработать свое собственное доказательство. Авторы превозносили Гивенталя за его «блестящую идею» и писали, что «ваш важный вклад будет упомянут в окончательной версии нашей статьи».
Спустя несколько недель, статья озаглавленная «Зеркальный принцип I» была опубликована в «Азиатском Математическом Журнале» («Asian Journal of Mathematics», далее – АМЖ), в редколлегию которого входит и Яу. В этой статье Яу и его соавторы описывают достигнутый ими результат как «первое полное доказательство» зеркальной гипотезы. Работа Гивенталя упоминается только вскользь. «К сожалению, – пишут они, – его доказательство “изученное видными учеными, является неполным”». Вместе с тем они не привели ни одного конкретного примера подлинного математического пробела в доказательстве Гивенталя.
Гивенталь был ошарашен. «Я хотел узнать, в чем состояло их возражение, – рассказал он нам. – Я не хотел их ни в чем обвинить и не пытался обелить себя». В марте 1998 г. он опубликовал статью со сноской на трех страницах, в которой перечислил целый ряд совпадений между своей работой и доказательством Яу. Еще через несколько месяцев другой молодой ученый из Чикагского университета, которому было поручено исследовать предмет спора, пришел к выводу, что доказательство Гивенталя было полным. Яу утверждает, что он и его коллеги работали над доказательством в течение многих лет и пришли к своему результату независимо от Гивенталя. «У нас были свои идеи и мы изложили их на бумаге», – говорит он.
Примерно в это же время произошел первый серьезный конфликт между Яу с одной стороны и Чженем и руководством китайской математической науки с другой. На протяжение многих лет Чжень пытался организовать проведение конгресса Международного Математического Сообщества в Пекине. По словам некоторых членов ММС, Яу в последний момент предпринял попытку перенести конгресс в Гонконг. Ему не удалось убедить достаточное количество коллег в своей правоте и конгресс состоялся, как и было запланировано, в Пекине (Яу отрицает, что он когда-либо совершал такую попытку). Из числа делегатов конгресса была выбрана группа ученых, которым предстояло назначить докладчиков на конгрессе. В состав этой группы вошел самый успешный ученик Яу по имени Ганг Тян, знакомый Перельмана по Нью-Йоркскому университету, в описываемое время преподававший в MIT. Оргкомитет конгресса также поручил Тяну выступить на пленарном заседании со вступительной речью.
Яу эта новость застала врасплох. Только недавно, в марте 2000 г., он опубликовал развернутый обзор последних разработок в его области науки; обзор был густо насыщен самыми лестными отзывами о работах Тяна и об их совместных проектах. Яу нанес ответный удар, организовав в августе 2000 г. в Пекине (за несколько дней до математического конгресса) свою собственную конференцию, посвященную теории струн. Он уговорил принять участие в конференции Стивена Хокинга и нескольких нобелевских лауреатов; в течение нескольких дней китайские газеты пестрели фотографиями приехавших знаменитостей. Яу даже удалось организовать встречу с председателем КНР Цзянь Цземинем. Один из организаторов математического конгресса вспоминал, что трасса между Пекином и аэропортом была «сплошь увешана рекламными щитами со Стивеном Хокингом».
Тем летом Яу не думал о задаче Пуанкаре. Он был уверен в Гамильтоне, несмотря на то, что тот продвигался очень медленно. «Гамильтон – очень хороший друг, – рассказывал нам Яу в Пекине. – Он больше чем друг. Он герой. Он очень изобретательный. Мы с ним работали над завершением доказательства. Гамильтон работал над ним в течение двадцати пяти лет. Когда работаешь – устаешь. Он, наверное, немного устал – а когда устаешь, хочется немного отдохнуть».
12 ноября 2002 г. Яу получил e-mail от русского математика, чье имя не вызвало у него никаких ассоциаций. «Позвольте представить вашему вниманию мою статью», – говорилось в письме.
11 сентября все тридцать девять страниц новой статьи Перельмана, под названием «Формула энтропии для потоков Риччи и ее геометрические приложения» были выложены автором на сайте arXiv.org. Этот сайт используется математиками для публикации препринтов – материалов, ожидающих публикации в специализированных изданиях. После этого Перельман разослал конспект статьи десяти математикам из Соединенных Штатов – в том числе Гамильтону, Тяну и Яу (никто из них не получал от Перельмана никаких известий на протяжении нескольких лет). В своем конспекте Перельман писал, что сделал «набросок эклектичного доказательства» гипотезы геометризации.
Перельман никому не рассказывал, что работает над доказательством. «У меня не было друзей, с которыми я бы мог его обсудить, – сказал он нам в Санкт-Петербурге. – Я не хотел обсуждать мою работу с кем-то, кому я не доверяю». Эндрю Уайлс также держал в секрете свою работу над теоремой Ферма, но у него был друг-математик, проверивший доказательство до его обнародования. Перельман, погодя опубликовавший в Интернете доказательство одной из величайших теорем математики, не только презрел сложившиеся академические традиции, но и пошел на большой риск. Если бы в доказательстве были обнаружены серьезные недочеты, то Перельман был бы публично опозорен; кроме того, ничто не помешало бы другому математику исправить обнаруженные ошибки и объявить о своем приоритете в решении гипотезы Пуанкаре. Однако Перельман сказал, что его это не слишком волновало. «Я полагал так: если бы я где-то допустил ошибку и кто-то другой смог бы предложить корректное доказательство, опираясь на мои результаты – меня бы это только порадовало, – сказал он. – Я никогда не ставил своей целью в одиночку решить задачу Пуанкаре».
Ганг Тян получил e-mail от Перельмана в своем офисе в MIT. Тян и Перельман были дружны в 1992 г., когда они оба находились в Нью-Йоркском университете и вместе посещали еженедельный семинар в Принстоне. «Я сразу понял, насколько важной была эта статья», – сказал Тян о письме Перельмана. Тян немедленно начал изучать статью и обсуждать ее с коллегами, которых эта статья в равной степени взволновала.
19 ноября геометр Виталий Капович отправил Перельману e-mail: «Привет, Гриша. Прости за беспокойство, но тут многие задают вопросы о твоем препринте "Энтропийная формула потоков Риччи..." Правильно ли я понимаю, что, хотя тебе не удалось произвести все шаги программы Гамильтона, ты смог совершить достаточное количество, чтобы, используя некоторую теорему сходимости, доказать теорему геометризации? Виталий».
Ответ Перельмана, полученный на следующий день, был краток: «Да, это так. Гриша».
Опубликованная Перельманом в Интернете статья была на самом деле только первой частью доказательства. Но для математиков этого было достаточно, чтобы понять, что Перельману удалось решить задачу Пуанкаре. Барри Мазур, математик из Гарварда, описывая решение Перельмана, использовал сравнение с погнутым автомобильным крылом. «Представьте, что у вашей машины погнуто крыло и вы звоните в автомастерскую, чтобы узнать, как вам его выпрямить. Автомеханику будет очень трудно объяснить вам это по телефону. Вам придется приехать в мастерскую, чтобы механик смог исследовать повреждение. Только после этого он сможет сказать, в каком месте по крылу нужно постучать. Гамильтон ввел понятие, а Перельман завершил описание процедуры, которая работает независимо от вида повреждения. Поток Риччи, будучи применен к любому трехмерному пространству, сгладит все шероховатости и выпрямит все выбоины. Автомеханику даже не потребуется смотреть на вашу машину – достаточно будет просто применить уравнение». Перельман доказал, что «сигары», особенно беспокоившие Гамильтона, на самом деле не могут образоваться под воздействием потоков Риччи. Проблема «перешейков» оказалось решаемой с помощью серии сложных хирургических манипуляций – вырезания сингулярностей и латания неровных краев. «В результате мы получили инструмент, с помощью которого возможно сглаживать неровности и, в критических ситуациях, контролировать разрывы», – сказал Мазур.
Тян ответил Перельману, пригласив его прочесть курс лекций по статье в Массачусетском технологическом институте. Подобные предложения пришли и от коллег из Принстона и Стони Брук. Перельман принял все приглашения, запланировав целый месяц лекций, начиная с апреля 2003 г. «Почему бы и нет?», – пожав плечами, сказал нам Григорий. Федор Назаров, математик из университета штата Мичиган, сказал о математиках в целом: «После того как решишь задачу, появляется жгучее желание о ней рассказать».
Заявление Перельмана потрясло Гамильтона и Яу. «Нам казалось, что найти решение не под силу никому, – сказал нам Яу в Пекине. – Но в 2002 г. Перельман объявил о публикации результата. То, что он сделал, по существу представляло собой краткое описание решения; он не привел подробных выкладок, как это сделали мы». Более того, пожаловался Яу, доказательство Перельмана «было настолько запутанным, что мы ничего не поняли».
Математическое сообщество и пресса рассматривали апрельскую серию лекций Перельмана как исключительно важное событие. На лекции в Принстоне присутствовали Джон Болл, Эндрю Уайлс, Джон Форбс Нэш-младший, доказавший теорему вложения Римана и Джон Конвей, изобретший клеточный автомат-игру «Жизнь». К огромному удивлению большинства присутствовавших, Перельман ни словом не обмолвился о задаче Пуанкаре. «Человек доказал одну из величайших теорем математики – и ни разу ее не умомянул, – рассказывал Фрэнк Куинн, математик из Вирджинского технологического. – Он обозначил некоторые ключевые моменты и особые свойства своей работы и перешел к ответам на вопросы. Он упрочивал свою репутацию. Если бы он начал бить себя в грудь и кричать “Я решил ее!”, он столкнулся бы с сильным противодействием со стороны аудитории». Он добавил: «Люди пришли посмотреть на диковинку. Перельман был гораздо более нормальным, чем они ожидали».
Перельман был разочарован, когда узнал, что Гамильтон не пришел ни на первую лекцию, ни на лекцию в Стони Брук. «Я являюсь последователем Гамильтона, хотя я и не получил его благословения», – сказал нам Перельман.
Однако на лекции в Стони Брук присутствовал Джон Морган, математик из Колумбийского университета, где в то время преподавал Гамильтон. После лекции Морган пригласил Перельмана прочесть лекцию в КУ. Перельман, надеясь встретить там Гамильтона, согласился. Гамильтон опоздал к началу лекции и не задал ни одного вопроса ни во время долгой дискуссии, последовавшей за лекцией, ни после нее, во время совместного обеда. «У меня сложилось впечатление, что Гамильтон прочел только первую часть моей статьи», – признался Перельман.
В номере журнала «Science», вышедшем в свет 18 апреля 2003 г., появилась статья, посвященная доказательству Перельмана с комментариями Яу. В статье говорилось: «Многие, хотя и не все, эксперты убеждены, что Перельману удалось "затушить" все "сигары" и обуздать узкие "перешейки". Но они вовсе не уверены, что Перельман может контролировать число хирургических операций, необходимых для сглаживания сингулярностей. Эта проблема может оказаться критической для всего решения, предупреждает Яу, отмечая, что многие попытки доказать гипотезу Пуанкаре потерпели неудачу именно из-за пропущенных звеньев в логике доказательства». К любому доказательству, сказал нам Яу в своем интервью, необходимо относиться скептически, пока эксперты досконально в нем не разберутся. До тех пор, сказал Яу, «это не математика, а религия».
К середине июля Перельман выложил в Интернете остальные две части своей статьи, и математики начали скрупулезный процесс объяснения доказательства, шаг за шагом проверяя его логику. В Соединенных Штатах проверкой занимались как минимум две команды экспертов: конкурент Яу Ганг Тян совместно с Джоном Морганом и пара исследователей из Мичиганского университета. Оба проекта получили поддержку института Клэя, планировавшего издать результат Тяна и Моргана в виде отдельной книги. Эта книга должна была послужить руководством для других математиков, пытающихся понять логику доказательства Перельмана; кроме того, книга могла послужить основанием для вручения Перельману миллиона долларов – приза, учержденного институтом Клэя за решение задачи Пуанкаре (для получения приза необходимо, чтобы доказательство было опубликовано в специализированном журнале; доказательство также должно выдержать двухгодичную проверку со стороны математического сообщества).
Прошло более года после возвращения Григория в Санкт-Петербург, когда, 10 сентября 2004 г., он получил по e-mail длинное письмо от Тяна, в котором тот рассказывал о своем участии в двухнедельном семинаре в Принстоне, посвященном доказательству Перельмана. «Мне кажется, что нам удалось понять всю статью до конца, – писал Тян. – С ней все в полном порядке».
Перельман не ответил Тяну. Он сказал нам, что «не очень беспокоился по этому поводу. Некоторым людям требуется время, чтобы осознать, что великая гипотеза Пуанкаре перестала быть гипотезой. Я решил, что для меня будет правильным не участвовать в процессе верификации доказательства и во всех этих обсуждениях. Мне было важным не вмешиваться в процесс».
В июле того же года Национальный Фонд Науки США выделил на изучение открытия Перельмана около миллиона долларов в виде грантов – Гамильтону, Яу и нескольким ученикам Яу. Вокруг задачи Пуанкаре и попыток ее решения сформировалась целая отрасль математики и теперь эта отрасль находилась на грани исчезновения. Майкл Фридман, получивший Филдсовскую медаль за доказательство задачи Пуанкаре для четырех измерений, в интервью «Times» сказал, что доказательство Перельмана вызвало «тихую грусть в сердцах исследователей именно этой ветви топологии». Юрий Бураго сказал: «Доказательство закрывает целую отрасль математики. После него многим ученым придется переключиться на исследования в других областях»...